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Projection extensionnelle pour la r

eduction d’un treillis de concepts

formels ﬂous

Fuzzy formal concepts lattice reduction based on extensional

projection

Hakim Radja

Yassine Djouadi

1. UMMTO, Univ. de Tizi-Ouzou, Dept. Informatique, BP 17, RP, Tizi-Ouzou, Alg

erie, [email protected]

2. USTHB, Universit

e des Sciences et de la Technologie d’Alger, BP 32 El Alia, Alg

erie, [email protected]

esum

e :

En analyse de concepts formels, les connaissances in-

duites (appel

ees concepts formels) sont hi

erarchis

ees et

repr

esent

ees sous la forme d’un treillis de Galois. Il

s’av

ere que dans le cas d’applications r

eelles, le nombre

de concepts formels est tr

es important ce qui augmente

consid

erablement la taille du treillis de Galois engendr

et par voie de cons

equence la complexit

e de la manipula-

tion de ce treillis. Les treillis de Galois alpha sont appa-

rus r

ecemment pour r

epondre

a ce probl

eme. N

eanmoins,

les approches propos

ees en ce sens prennent uniquement

en consid

eration des relations Bool

eennes. Dans la conti-

nuit

e de ces approches, nous proposons dans ce papier

une m

ethode permettant de r

eduire la taille du treillis de

Galois dans le cas de relations binaires ﬂoues. L’int

de notre contribution se trouve d’autant plus justiﬁ

e que

le nombre de concepts formels est d’autant plus impor-

tant lorsque la relation est ﬂoue. Pour ce faire, nous uti-

lisons un partitionnement de l’ensemble des instances en

classes de base. Un tel partitionnement est obtenu en as-

signant

a chaque instance une classe de base en fonction

de son type. Nous introduisons ensuite une projection ex-

tensionnelle consistant

a d

eﬁnir une nouvelle extension

pour chaque intension ﬂoue. Cette nouvelle notion d’ex-

tension est bas

ee sur un certain crit

ere de satisfaction al-

pha (relatif

a la partition) en classes de base. L’approche

ainsi propos

ee permet de r

eduire le nombre de concepts

formels et par cons

equence la taille du treillis de Galois.

Mots-cl

es :

Treillis de Galois alpha, analyse de concepts formels

ﬂous, r

eduction de treillis.

Abstract:

A Galois lattice is a representation of knowledge as a

hierarchy of concepts. In the case of real application the

number of formal concepts is very important which signi-

ﬁcantly increases the size of the Galois lattice generated.

We propose in this paper a method to reduce the size of

concept lattice in the case of fuzzy binary relationship,

inspired by Galois alpha lattice. For this purpose, we use

a partitioning of the set of instances to base classes. Such

partitioning is obtained by assigning to each instance a

basis class according to its type. We will then make an

extensional projection consisting of deﬁning a new exten-

sion for each fuzzy intension. This new notion of exten-

sion is based on a criterion of alpha satisfaction relating

to the partition to base classes, which helps to reduce the

number of formal concepts and therefore the size of the

Galois lattice.

Keywords:

Galois alpha lattice, fuzzy formal concept analysis, lat-

tice reduction.

1 Introduction

L’analyse de concepts formels (ACF),

introduite par Wille [1], consiste

a ap-

prendre des paires de sous ensembles

({objets},{propri´et´es}), appel

es concepts

formels,

a partir d’une relation binaire (appel

contexte formel) entre un ensemble d’objets

et un ensemble de propri

es. Rappelons que

dans la proposition initiale de Wille, la relation

consid

ee est Bool

eenne (un objet poss

ede

totalement la propri

e ou ne la poss

ede pas

du tout). Dans le cas de l’analyse de concepts

formels classique (non ﬂou), plusieurs ap-

proches ont

e propos

ees pour r

eduire la

taille du treillis de Galois. Dans [4] les au-

teurs proposent une m

ethode qui se base sur

l’

elimination d’une partie des nœuds du treillis.

Dans [5] un treillis de concepts fr

equents

repr

esente la partie sup

erieure d’un treillis de

concepts : seuls les nœuds dont l’extension est

suﬃsamment grande (relativement

a un seuil)

sont repr

esent

es. Dans beaucoup d’applica-

tions, il est parfois utile de repr

esenter une

grande quantit

e de donn

ees en les regroupant en

une hi

erarchie de classes. Partant de cette id

ee,

22èmes rencontres francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA 2013), 10-11 octobre 2013, Reims, France

103

1 2 3 4 5 6 7 8

1 Introduction 1
3 Proposition 3

Summary of Contents

Page 1 - 1 Introduction

Projection extensionnelle pour la r´eduction d’un treillis de conceptsformels ﬂousFuzzy formal concepts lattice reduction based on extensionalprojecti

Page 2

Ventos & Soldano [3] ont propos´e des treillisr´eduits appel´es treillis de Galois alpha apr`esune projection extensionnelle. Ce mod`ele quipermet

Page 3 - 3 Proposition

les concepts formels ﬂous peutˆetre muni d’unerelation d’ordre (not´ee ≤) d´eﬁnie comme :(X1, Y1) ≤ (X2, Y2) ssi X1⊆ X2(ou Y2⊆ Y1). Cet ensemble muni

Page 4

Table 2 – Contexte formel ﬂouClasse de base R D H ECL1o10,3 0.1 0,1o20.8 0,4 0,0o30.8 0,6 0,0CL2o41 0,4 0,0o51 0,4 0,5maladies (hypertension art´eriel

Page 5

S ((D0,8, H0,4, E0,0), (D0,3, H0,1, E0,1)) = 0, 1De la mˆeme mani`ere :S (T, I(o2)) = 1S (T, I(o3)) = 1De ce fait, nous avons :Xsat70T car∑ni=1S (T,I(

Page 6

Soit Eαl’ensemble de toutes les extensionsalpha d’un terme T . En changeant l’extension(ext), une projection extensionnelle trans-forme un treillis de

Page 7

Algorithm. EXTALPHAInput : K = (L, O, P, R), INT ENT S ETOutput : EXT S ET ,BeginEXT S ET := {∅};For each T ∈ INT ENT S ET ) Doextα(T ) := ∅;i := 0;Wh

Page 8

[4] J. Hereth., G. Stumme. Conceptual KnowledgeDiscovery and Data Analysis. Int. Conf. onConceptual Structure, 2000, pp 421-437.[5] K. Waiyamai., L. L

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